Úvod do statistiky: BETA a jeho použití v ekonomii a statistických analýzách

Image by rawpixel.com on Freepik

BETA je statistický koncept, který se používá především v oblasti ekonomie a finance, ale také v dalších oblastech, jako je například biologie nebo inženýrství. Jedná se o měřítko rizika, které popisuje, jak je investice nebo jiná proměnná citlivá na změny v celkovém trhu nebo v jiných faktorech.

V rámci statistických analýz a testování hypotéz se hodnota BETA používá především v kontextu analýzy vztahu mezi dvěma nebo více proměnnými. Jedním z hlavních použití BETA v této oblasti je výpočet regresní analýzy, která pomáhá určit, zda existuje statisticky významný vztah mezi dvěma proměnnými.

Výpočet BETA

BETA se měří jako poměr kovariance mezi výnosem investice a výnosem trhu k rozptylu výnosu trhu. Výsledkem je číslo mezi -1 a 1, kde záporné hodnoty znamenají negativní korelaci s trhem a kladné hodnoty znamenají pozitivní korelaci.

V regresní analýze se BETA používá k výpočtu směrnice regresní přímky. Tato přímka ukazuje, jak se změna jedné proměnné (nezávislé proměnné) odráží v druhé proměnné (závislé proměnné). Vyšší hodnota BETA znamená větší citlivost závislé proměnné na změny nezávislé proměnné.

Použití BETA v praxi

V oblasti ekonomie a financí se BETA používá jako měřítko rizika investice. Vyšší hodnota BETA znamená, že investice je více riziková, protože je citlivější na změny v trhu, zatímco nižší hodnota BETA znamená menší riziko, protože investice je méně citlivá na změny v trhu. Například akciový fond s hodnotou BETA větší než 1 je velmi citlivý na změny na trhu a vykazuje vysoké riziko. Na druhé straně, některé investice s BETA menší než 1, jako například dluhopisy, jsou méně rizikové, protože jsou méně citlivé na změny v trhu.

V rámci statistických analýz se BETA používá také k výpočtu rizika chyby druhého druhu (beta chyby), která může nastat, když je přijata nulová hypotéza, i když je ve skutečnosti chybná. Tato chyba se vyskytuje, když se nepodaří zamítnout nulovou hypotézu, i když ve skutečnosti platí alternativní hypotéza.

Výpočet BETA se používá k určení úrovně beta chyby při testování hypotéz, která vyžaduje výpočet statistického významu závislosti mezi dvěma nebo více proměnnými. Tento výpočet pomáhá určit, jaký počet pozorování bude nutný k minimalizaci beta chyby a zvýšení spolehlivosti testování hypotéz.

Celkově lze tedy říci, že BETA je užitečný koncept v testování hypotéz a analýze vztahů mezi proměnnými. Při použití BETA v regresní analýze a testování hypotéz je důležité mít na paměti, že hodnota BETA může být ovlivněna mnoha faktory, jako jsou například výběr vzorku, velikost vzorku, korelace mezi proměnnými a další faktory, a proto je nutné při použití BETA pečlivě vyhodnotit všechny tyto faktory.

Příklad využití BETA v praxi

Jedním z příkladů využití BETA v praxi může být hodnocení rizika a výnosnosti investic do akciových fondů. Investoři mohou použít hodnoty BETA k určení, jaký typ investic je pro ně nejvhodnější vzhledem k jejich rizikovému profilu. Například investoři, kteří hledají méně rizikové investice, mohou hledat investice s nižší hodnotou BETA, jako jsou například dluhopisy, zatímco investoři, kteří jsou ochotni přijmout vyšší riziko, mohou hledat investice s vyšší hodnotou BETA, jako jsou například akciové fondy.

Dalším příkladem využití BETA může být výzkum v oblasti biologie nebo inženýrství, kde se používá k analýze vztahu mezi dvěma nebo více

proměnnými, jako jsou například úrovně hormonů a reakce organismu nebo vztah mezi faktory jako je teplota a výkon stroje. BETA se v těchto oblastech používá k určení, jaké faktory mají největší vliv na daný jev a jakým způsobem na něj tyto faktory působí.

V ekonomických a finančních analýzách se BETA také používá k výpočtu portfoliového rizika, které je měřítkem rizika spojeného s investicemi do různých aktiv. Pomocí BETA lze určit, jaké investice mají vyšší a nižší rizikovost a jak je možné tyto investice kombinovat tak, aby bylo dosaženo optimálního poměru rizika a výnosu.

V oblasti financí se BETA také používá k výpočtu výnosových přirážek k rizikovějším aktivům, jako jsou například akcie. Vypočtení výnosové přirážky umožňuje investorům určit, jakou výnosovou kompenzaci jsou ochotni přijmout za větší riziko spojené s investicemi do těchto aktiv.

Celkově lze tedy říci, že BETA je užitečný nástroj v oblasti statistických analýz a testování hypotéz, který se používá především v ekonomii a finance, ale také v dalších oblastech. Pomocí BETA lze určit, jaký vztah existuje mezi proměnnými, jaké faktory mají největší vliv na daný jev a jaké jsou rizika spojená s investicemi do různých aktiv.

Výpočet BETA v jednotlivých krocích

BETA = kovariance(výnos investice, výnos trhu) / rozptyl výnosu trhu

Výsledek BETA vyjadřuje citlivost výnosu investice na změny výnosu trhu. Pokud je hodnota BETA vyšší než 1, znamená to, že výnos investice je více citlivý na změny výnosu trhu. Pokud je hodnota BETA nižší než 1, znamená to, že výnos investice je méně citlivý na změny výnosu trhu. Pokud je hodnota BETA rovna 1, znamená to, že výnos investice se mění ve stejné míře jako výnos trhu.

Výnos investice

Určení výnosu investice a výnosu trhu je klíčové pro výpočet BETA. Výnos investice se obvykle vypočítává jako procentní změna v hodnotě investice v průběhu určitého časového období. Výnos trhu pak obvykle odkazuje na procentní změnu hodnoty burzovního indexu v průběhu stejného časového období.

Například, pokud chceme vypočítat BETA akcie společnosti XYZ, můžeme porovnat výnos akcie XYZ s výnosem celého trhu, což lze získat například z burzovního indexu S&P 500.

Pro výpočet výnosu investice lze použít vzorec:

(Výsledná hodnota – Počáteční hodnota) / Počáteční hodnota

Například, pokud jsme nakoupili akcie společnosti XYZ za 100 Kč a následně jsme je prodali za 120 Kč, výnos naší investice by byl (120 – 100) / 100 = 0,2 nebo 20%.

Výnos trhu

Pro výpočet výnosu trhu lze použít podobný vzorec, pouze místo hodnoty naší investice použijeme hodnotu burzovního indexu:

(Výsledná hodnota indexu – Počáteční hodnota indexu) / Počáteční hodnota indexu

Například, pokud je hodnota burzovního indexu S&P 500 na začátku sledovaného období 2 000 bodů a na konci sledovaného období 2 200 bodů, výnos trhu by byl (2 200 – 2 000) / 2 000 = 0,1 nebo 10%.

Výnos investice a výnos trhu se obvykle porovnávají pro stejné období, například jeden měsíc, jeden rok nebo pět let, aby se získala přesná hodnota BETA pro sledovanou investici.

Rozptyl výnos trhu

Pro výpočet rozptylu výnosu trhu je třeba nejprve získat data o výnosech trhu. Tyto údaje lze získat například z burzovních indexů, jako je například S&P 500 nebo Dow Jones Industrial Average.

Pokud máme k dispozici data o výnosech trhu, můžeme vypočítat rozptyl pomocí výpočtu průměru výnosů trhu a následného výpočtu součtu čtverců odchylek od průměru výnosů trhu, který následně vydělíme počtem pozorování.

Postup výpočtu rozptylu výnosu trhu je následující:

1. Vypočítáme průměr výnosů trhu pomocí funkce PRŮMĚR v Excelu nebo jiném podobném programu.
2. Spočítáme součet čtverců odchylek od průměru výnosů trhu pomocí funkce SUMPRODUCT v Excelu
3. Rozptyl výnosu trhu vypočítáme dělením součtu čtverců odchylek od průměru výnosů trhu počtem pozorování minus 1 (n-1).

Vzorec pro výpočet rozptylu výnosu trhu je tedy:

Rozptyl výnosu trhu = součet čtverců odchylek od průměru výnosů trhu / (počet pozorování – 1)

Kde:

• Součet čtverců odchylek od průměru výnosů trhu = SUMPRODUCT((výnos trhu – průměr výnosů trhu)^2)
• Počet pozorování = počet záznamů o výnosech trhu v našem datovém souboru.

Výpočet Beta zahrnuje také kovarianci mezi výnosem investice a výnosem trhu. Kovariance může být vypočtena pomocí funkce COVAR v Excelu.